Escargot de Pythagore

On construit une suite de points ${\text{A}}_0,{\text{A}}_1,...,{\text{A}}_n$  de la façon suivante :

• ${\text{OA}}_0=1$  ;
  
• pour tout entier naturel $n$ , ${\text{A}}_n{\text{A}}_{n+1}=1$  ;
  
• pour tout entier naturel $n$ , le triangle ${\text{OA}}_n{\text{A}}_{n+1}$  est rectangle en ${\text{A}}_n$ .
  

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , ${\text{OA}}_n=\sqrt{n+1}$ .